Câu chuyện hệ chữ số

1. Câu chuyện hệ chữ số của tôi

Chúng ta hãy cùng trở về thời kỳ tiền sử, khi mà con người còn chưa phát minh ra các hệ chữ số. Tôi, trong vai một người tiền sử, ôm một đống trái cây về hang cất giữ. Đến khi bước ra khỏi hang, tôi tự hỏi: làm sao tôi có thể biết và nhớ được mình đang có bao nhiêu trái cây khi rời khỏi hang? Làm sao tôi có thể biết chắc được rằng đống trái cây tôi bỏ công kiếm về vẫn còn nguyên khi tôi quay trở lại, chứ không bị thằng hàng xóm thó mất vài ba quả?

Hiển nhiên do chữ số chưa được phát minh, nên tôi sẽ không có khái niệm gì về các con số “một”, “hai”, “ba”, và do đó không thể diễn đạt và nhớ được số lượng bằng con số. Nếu số lượng trái cây chỉ có vài ba quả, thì tôi có thể ghi nhớ lại hình ảnh của cả đống trái cây, và hình dung lại hình ảnh đó khi cần biết số lượng trái cây đang có. Phương pháp này có nhược điểm nhãn tiền là rất dễ quên và dễ nhầm lẫn. Tôi cũng có thể làm theo cách là kiếm một số viên sỏi nhỏ về hang, cứ nhặt một quả trái cây đặt sang một bên lại nhặt một viên sỏi cầm trên tay hoặc cho vào vật đựng để mang đi. Phương pháp này chính xác hơn rất nhiều so với phương pháp trước, và có thể nói là bước đi đầu tiên trong việc biến đổi số lượng trong hiện thực thành khái niệm trừu tượng.

he-co-so-1Hình 1

Vấn đề tiếp theo nảy sinh khi số lượng trái cây tăng lên hàng chục, khiến cho lượng sỏi phải sử dụng trở nên quá lớn. Việc vác theo một túi sỏi nặng trịch chỉ để nhớ số lượng trái cây trong hang là quá thiếu hiệu quả. Vốn đầu óc thông minh nên tôi bèn nghĩ ra một sáng kiến, là cứ nhặt một số lượng sỏi nhất định thì bỏ số sỏi đó đi và nhặt lấy một que củi nhỏ, như vậy tôi có thể giới hạn số lượng sỏi ở một mức độ vừa phải. Nhưng vấn đề là nhặt bao nhiêu viên sỏi cho một que củi? Tôi có thể lấy một số lượng nhỏ nào đó, ví dụ bốn năm viên sỏi, mà tôi có thể nhớ được bằng mắt, nhưng như vậy số lượng que củi sẽ tăng lên quá nhanh. Thay vào đó tôi cũng có thể lấy một số lượng đại khái như “một nắm sỏi”. Như vậy tôi đã tìm ra cách nhớ được một số lượng lớn thông qua việc dùng hai đồ vật đếm thay vì chỉ một. Đến khi muốn biết số lượng, tôi chỉ việc thay mỗi que củi bằng một nắm sỏi, rồi quy đổi mỗi viên sỏi thành một quả trái cây.

he-co-so-2Hình 2

Tuy nhiên, tôi nhận thấy rằng nếu cứ lấy đại khái “một nắm sỏi”, thì mỗi lần nhặt tôi lại ra một số lượng sỏi và que củi khác nhau. Nhìn vào hai bàn tay mình, tôi chợt nhận ra rằng, trừ thằng hàng xóm không may bị sói tạp mất một ngón, còn lại thì ai cũng đều có số lượng ngón tay như nhau và (hầu như) không đổi. Tôi có thể nắm hai bàn tay lại, và cứ mỗi một hòn sỏi được lấy ra thì tôi lại xòe một ngón tay ra, đến khi nào tất cả các ngón tay đều xòe thì tôi đã có lượng sỏi mình cần. Trừ khi tôi cũng bị sói tạp mất ngón tay, còn thì tôi có làm cách này bao nhiêu lần cũng sẽ ra kết quả như nhau. Đến đây, tôi đã có thể biết được, hay “đếm” được, một số lượng trái cây đủ chất đầy hang chỉ bằng các viên sỏi và que củi với số lượng mỗi loại bằng đúng số ngón tay trên hai tay. Hơn thế nữa, giờ tôi đã có thể chia sẻ cách đếm số trái cây này với mọi người xung quanh, vì ai cũng đều có hai tay, và đều có cùng số lượng ngón tay (trừ thằng hàng xóm).

he-co-so-3Hình 3

Một ngày nọ, khi đang nằm trong hang gặm hoa quả, tôi bỗng nảy ra một ý tưởng sáng lạn: thay vì phải cặm cụi đi nhặt củi và sỏi, tôi có thể vẽ hình từng viên sỏi và que củi lên vách hang. Như vậy tôi không cần phải dùng sỏi với củi thật để thể hiện số lượng nữa. Do trình độ nghệ thuật có hạn, nên tôi vẽ các que củi bằng cách kẻ các đoạn thẳng, và các viên sỏi bằng các dấu chấm lớn. Tôi không nghĩ là người La Mã cổ đại đã sống trong hang và đếm trái cây chỉ bằng que củi để phát minh ra chữ số của họ, nhưng tôi đã có được một cách “viết” số về nguyên tắc khá giống với hệ chữ số La Mã nổi tiếng vẫn còn được dùng đến ngày nay.

he-co-so-4Hình 4

Sau một thời gian kẻ và chấm chán chê, tôi thấy rằng nếu số lượng trái cây của tôi vượt quá khả năng thể hiện của sỏi và củi, thì tôi sẽ phải tăng số lượng sỏi cho mỗi que củi lên, hoặc tìm thêm một vật đếm thứ ba. Tôi có thể dùng thêm cả các ngón chân khi đếm sỏi, hay dùng thêm vỏ sò làm vật đếm, nhưng cả hai cách đó đều rồi sẽ đến giới hạn. Một tia sét lóe lên trong đầu: nếu như tôi đã mất công vẽ từng viên sỏi, rồi lại mất công xòe gập ngón tay theo từng viên sỏi, thì sao tôi lại không vẽ luôn cả hình dáng hai bàn tay tôi sau khi đếm xong lên thay cho các viên sỏi? Tôi cũng có thể làm tương tự với các que củi, và với các vỏ sỏ, và với bất cứ thứ gì vật đếm nào tiếp theo. Như vậy tôi sẽ không cần phải đi tìm thêm vật đếm khác nữa. Do lúc này tất cả các vật đếm của tôi đều được thay thế bằng hình bàn tay, nên để tránh nhầm lẫn, tôi vẽ bàn tay thể hiện số sỏi theo chiều dọc ở ngoài cùng bên phải, bàn tay thể hiện số củi theo chiều ngang về phía bên trái, rồi cứ thế viết dần về phía bên trái và đan xen chiều dọc ngang.

he-co-so-5Hình 5

Đến đây tôi đã tạo ra được một cách viết và ghi nhớ số lượng, hay còn gọi là một hệ chữ số, khá gọn gàng, hiệu quả và … đẹp một cách cá tính.

2. Hệ chữ số là gì

Một hệ chữ số đơn giản chỉ là một cách biểu hiện một tập các số nhất định bằng các ký hiệu nhất định theo một cách nhất định. Một hệ chữ số luôn được tạo nên từ hai yếu tố: các ký hiệu, và một quy tắc thống nhất về cách diễn giải và sử dụng các ký hiệu đó. Một ví dụ về ký hiệu là các que củi và hòn sỏi trong hình 2, hay hình vẽ bàn tay trong hình 5. Một ví dụ về quy tắc ký hiệu có thể thấy ở hình 2 và hình 3. Ở đây cần chú ý rằng các ký hiệu chỉ có ý nghĩa khi ta biết được quy tắc sử dụng các ký hiệu đó. Cùng một nhóm ký hiệu có thể thể hiện cho các số lượng khác nhau, khi sử dụng với các quy tắc khác nhau. Một hệ chữ số có giá trị sử dụng trong thực tế phải đảm bảo thể hiện được tất cả các số trong tập số cần thể hiện, và mỗi số chỉ có thể được thể hiện theo một hoặc đôi khi là một vài cách nhất định.

Các ký hiệu trong một số của một hệ chữ số thường không bình đẳng với nhau. Một hệ chữ số có thể có nhiều ký hiệu, và mỗi ký hiệu được gán một giá trị khác nhau. Một hệ chữ số như vậy được gọi là có tính ký hiệu. Trong ví dụ ở trên, hệ chữ số ở hình 4 là một hệ chữ số có tính ký hiệu, với hình que củi thể hiện giá trị 10 và hình viên sỏi thể hiện giá trị 1. Ngược lại, cùng một ký hiệu có thể có giá trị khác nhau tùy vào cách viết và vị trí tương đối của ký hiệu đó trong một nhóm ký hiệu. Một hệ chữ số như vậy được gọi là có tính vị trí. Trong ví dụ ở trên, hệ chữ số ở hình 5 là một hệ chữ số có tính vị trí, với các hình bàn tay càng về phía bên trái thì càng thể hiện giá trị lớn hơn.

Đối với một hệ chữ số chỉ có tính ký hiệu, có hai cách để thể hiện các giá trị nằm giữa hai ký hiệu. Cách thứ nhất là viết lặp đi lặp lại các ký hiệu nhỏ hơn cho đến khi đạt đến giá trị của ký hiệu lớn hơn, giống như tôi đã làm ở hình 4. Cách thứ hai là sử dụng kết hợp hai bộ ký hiệu: các ký hiệu đơn vị thể hiện một số giá trị liên tiếp nhau, và các ký hiệu bậc thể hiện các giá trị lớn nằm cách xa nhau. Trong các hệ chữ số sử dụng cách thứ hai, các ký hiệu đơn vị sẽ được gắn với một ký hiệu bậc để thể hiện số lần lặp lại của ký hiệu bậc đó thay cho việc viết nhiều lần. Dù cách thứ hai đã rút ngắn được số khi viết đi khá nhiều, nhưng một hệ chữ số ký hiệu vẫn sẽ phải có rất nhiều ký hiệu cho từng bậc giá trị, hoặc sẽ phải kết hợp các ký hiệu bậc lại với nhau để thể hiện các giá trị rất lớn. Một hệ chữ số sử dụng khá nhiều ký hiệu bậc là hệ chữ số viết bằng Hán tự thời cổ, với các ký hiệu cho từng bậc giá trị từ 10 cho đến 100.000.000.000.000!

he-co-so-9Hình 6

Một hệ chữ số có tính vị trí, do đó, có thể nói là một cách viết tắt của một hệ chữ số ký hiệu, trong đó các ký hiệu bậc không được viết ra mà được hiểu ngầm dựa trên vị trí tương đối và cách viết của từng ký hiệu đơn vị. Đối với hệ chữ số ký hiệu, khi số lượng ký hiệu bậc cần dùng để quy đổi ra ký hiệu bậc kế tiếp là bằng nhau cho tất cả các bậc, thì số lượng đó được gọi là cơ số của hệ chữ số. Đối với hệ chữ số vị trí, cơ số sẽ là số lượng ký hiệu đơn vị có thể dùng ở một vị trí cho đến khi cần chuyển sang vị trí tiếp theo, và thường sẽ bằng số lượng ký hiệu đơn vị (bao gồm cả số không).

3. Các hệ chữ số trên thế giới

Các hệ chữ số sơ đẳng nhất là các hệ chữ số không có tính ký hiệu lẫn tính vị trí. Tuy nghe qua thì chúng có vẻ thô thiển, nhưng các hệ chữ số này lại vẫn được con người sử dụng cho đến ngày nay. Đó chính là các hệ chữ số đếm vạch, tương tự như việc chỉ sử dụng sỏi để đếm trái cây như ở hình 1. Phổ biến nhất ở nhiều nước phương Tây là cách vạch một vạch dọc cho mỗi một đơn vị, và vạch một vạch ngang hoặc chéo đè qua 4 vạch dọc cạnh nhau để thể hiện số 5, rồi lại bắt đầu lại từ đầu ở bên cạnh. Ở các nước chịu ảnh hưởng văn hóa Pháp và Tây Ban Nha thì người ta lại vạch 4 vạch tạo thành hình vuông và một vạch chéo bên trong hình vuông. Các nước có sử dụng Hán tự lại có cách riêng là dùng 5 vạch tạo thành chữ “chính” (正). Các hệ chữ số đếm vạch có ưu điểm là không cần tính toán phức tạp và có thể viết tiếp số lớn hơn từ số nhỏ hơn, nên thường được dùng để học đếm hoặc ghi lại một số tăng dần.

he-co-so-6Hình 7 (nguồn: Wikipedia)

Một hệ chữ số ký hiệu khá nổi tiếng là hệ chữ số Ai Cập cổ đại. Các ký hiệu trong hệ chữ số Ai Cập cổ mang giá trị lần lượt từ 1 (vạch kẻ), 10 (móng ngựa?), 100 (cuộn dậy), 1.000 (hoa súng), 10.000 (ngón tay gập), 100.000 (con ếch hoặc nòng nọc) cho đến 1.000.000 (vị thần giơ tay). Số 100.000 được viết bằng hình một con ếch hoặc nòng nọc có lẽ là do số lượng nòng nọc rất lớn được sinh ra mỗi lần từ trứng ếch, còn vị thần giơ tay có lẽ là thể hiện một con số rất lớn khiến thần cũng phải kinh ngạc. Do chỉ mang tính ký hiệu chứ không mang tính vị trí, nên các ký hiệu trong một số của hệ chữ số Ai Cập trên lý thuyết có thể được viết theo bất kỳ một thứ tự nào. Tuy nhiên trong các di tích Ai Cập cổ, các ký hiệu này thường được viết thành hàng ngang từ phải sang trái, và khi có nhiều hàng thì theo chiều từ trên xuống dưới.

he-co-so-7 Hình 8 (nguồn: discoveringegypt.com)

Một đại diện khá thú vị cho hệ chữ số gần như chỉ mang tính vị trí là hệ chữ số bằng que đếm của Trung Quốc cổ đại. Hệ chữ số này chỉ bao gồm hai ký hiệu là một que đếm hoặc một đoạn thẳng tượng trưng cho que đếm, và một vòng tròn thể hiện cho số 0. Tất cả các số từ 1 đến 9 được thể hiện bằng cách xếp từ 1 đến 5 que đếm theo một quy tắc nhất định. Các que đếm ở hàng đơn vị được xếp theo chiều dọc, hàng chục được xếp theo chiều ngang, hàng trăm lại được xếp theo chiều dọc, và cứ thế đan xen nhau. Hàng nào không có que nào sẽ được để trống nếu dùng que đếm thực, và thay bằng một vòng tròn khi viết trên giấy.

he-co-so-8Hình 9 (nguồn: Google)

Hầu hết các hệ chữ số hiện đại đang được sử dụng đều có cả tính ký hiệu lẫn tính vị trí. Trong đó dễ thấy nhất là hệ chữ số Ả rập và các hệ chữ số tương tự, sử dụng 10 ký hiệu cho các số từ 0 đến 9 và sử dụng vị trí để thể hiện giá trị hàng chục, hàng trăm,… Hệ chữ số Ả rập trên thực tế được phát minh ra tại Ấn Độ cổ đại, lan truyền sang khu vực Ả rập rồi sau đó mới đến tay người phương Tây và từ đó phổ biến ra khắp thế giới. Bản thân người Ả rập lại gọi hệ chữ số này là “hệ chữ số Ấn Độ”. Hệ chữ số Ả rập có thể nói là một trong những phát minh vĩ đại của con người, giúp đẩy mạnh sự phát triển và lan truyền của khoa học kỹ thuật từ thời cổ đại cho đến ngày nay.

he-co-so-11Hình 10 (nguồn: Wikipedia)

Mặc dù số lượng ngón tay của con người khiến cơ số thập phân chiếm vị trí độc tôn trong hệ chữ số ở khắp nơi trên thế giới, nhưng đây đó vẫn có các hệ chữ số với cơ số khác 10. Trong đó thú vị nhất phải kể đến hệ chữ số cơ số 60 của người Sumer và Babylon cổ đại và hệ chữ số cơ số 20 của người Maya. Hai hệ chữ số này thực chất là sự kết hợp của hai cơ số con (60=6×10 và 20=5×4) được viết như một hệ chữ số ký hiệu bên trong hệ chữ số lớn hơn mang tính vị trí. Các chữ số của người Babylon có hình dạng như những chiếc đinh do được viết bằng cách ấn một vật nhọn (thường là đầu que bút sậy) lên một tấm đất sét còn ướt rồi nung cho cứng lại, còn các chữ số của người Maya có lẽ lại bắt nguồn từ các vật đếm phổ biến là viên sỏi, que củi và vỏ sò.

he-co-so-10Hình 11 (nguồn: Wikipedia)

Bên cạnh các hệ chữ số viết thể hiện số đơn thuần như trên, nếu để ý kỹ ta cũng có thể thấy sự xuất hiện của các hệ chữ số “ẩn”. Một trong số đó chính là cách chúng ta đọc và viết số bằng tiếng Việt: trong “một trăm hai mươi (mười) ba” thì “một”, “hai”, “ba” là ký hiệu đơn vị, còn “trăm” và “mười” là ký hiệu bậc. Một ví dụ khác là cách chúng ta viết thời gian theo hệ cơ số 60, nếu ta coi mỗi số trong khoảng từ 0 đến 59 là một hệ chữ số con với cơ số 10.

4. Kết

Bài viết này tôi lấy cảm hứng từ một cuốn sách toán học vui tôi đọc từ khi còn là học sinh cấp hai. Cuốn sách đó đã khiến cho tôi biết thêm rất nhiều câu chuyện và tri thức thú vị về toán, cũng như giúp tôi hiểu rõ hơn những khái niệm toán học khá khó hiểu đối với tôi lúc đó như các cơ số trong hệ chữ số. Cuốn sách đó khiến tôi bỗng thấy toán thú vị theo một cách khác với những gì đang học trên lớp, và tôi đã đọc đi đọc lại nó đến cả chục lần.

Một vấn đề tôi hay thấy ở chương trình học của Việt Nam là chúng ta đi quá nhanh và quá tắt vào thẳng các khái niệm vốn đã khiến nhân loại phải mất hàng nghìn năm để xây dựng nên. Điều này có thể giúp tiết kiệm thời gian giảng dạy, nhưng nó khiến cho học sinh không tạo được mối liên hệ giữa các khái niệm được học với thế giới xung quanh, hoặc có tạo thì theo một cách máy móc. Học sinh sẽ chỉ biết số 13 là số tiếp theo số 12, 13=10+3, chứ không hình dung được số 1 và số 3 chỉ là các ký hiệu, có thể mang ý nghĩa khác nhau tùy vào cơ số.

Qua những bài viết như thế này, tôi mong rằng có thể cung cấp một cách tiếp cận khác đối với các khái niệm khoa học vẫn được giảng dạy trong nhà trường. Hy vọng rằng chúng sẽ giúp mọi người hiểu rõ hơn về những gì mình đã học, cũng như dễ dàng giải thích hơn cho con em/học sinh của mình về sau.